Software Fatiga 1.0. Cálculo de los coeficientes necesarios para su diseño (página 2)

En la figura se observa que para un valor elevado
de tensión, se necesitan una cantidad relativamente baja
de ciclos de carga para producir la rotura de la probeta, y a
medida que se reduce la tensión el número de ciclos
necesarios para provocar la rotura aumenta. Para un valor
determinado la tensión permanece prácticamente
constante para un número ilimitado de ciclos de carga, el
cual se conoce como límite de resistencia a la
fatiga y se denota por s
-1, en el caso del acero CT4 este es
igual a 190 MPa. Para los aceros de bajo contenido de carbono este
valor es aproximadamente la mitad del valor del límite de
rotura s r.

Para materiales no
ferrosos, como por ejemplo el aluminio y el
cobre la
tensión a la que ocurre la rotura continúa
decreciendo a medida que se aumenta el número de ciclos de
carga. Para tales metales, es
posible definir el límite de resistencia a la fatiga como
el valor de tensión correspondiente a la rotura
después de un número determinado de ciclos de
cargas, por ejemplo 500 millones.

En el caso de ciclos asimétricos de carga los ensayos se
efectúan con diferentes combinaciones de los valores de
la tensión media del ciclo s
media y de la amplitud del mismo s a. En estos casos se obtiene un
diagrama como
el que se muestra en la
figura 2.

Al ensayar varias probetas se obtienen una serie de puntos,
cuyo ajuste sería una curva. Según los ensayos esta
curva se puede sustituir por la recta AB. Esto contribuye a
aumentar la reserva de resistencia al disminuir el área de
trabajo. El
punto A del diagrama corresponde al límite de resistencia
a la fatiga para el ciclo simétrico; mientras que el punto
B es el límite de resistencia a la tracción.
Ubicando el punto de trabajo, mediante las coordenadas
(s media ; s a) del elemento estudiado es posible
conocer su reserva de resistencia; o sea el coeficiente de
seguridad con que
trabaja.

Al examinar una probeta, un árbol, un eje u otro
elemento de máquina o estructura que
haya fallado por fatiga se observa que el fallo comenzó en
una grieta microscópica o en otro defecto similar. En cada
ciclo de carga, la grieta va en aumento. Durante las cargas
sucesivas, la grieta se va propagando por toda la sección
y el material no dañado resulta insuficiente para soportar
las cargas máximas, entonces de forma abrupta ocurre la
rotura frágil del elemento debido a la sobrecarga estática.
Debido a que el fallo por fatiga puede ser iniciado en una grieta
u otra imperfección el estado de
la superficie de una probeta tiene un efecto importante en el
valor del límite de resistencia a la fatiga obtenido en
un ensayo. El
límite de resistencia a la fatiga para probetas maquinadas
y pulidas es superior que para componentes laminados o forjados,
o para otros que se encuentren corroídos. En condiciones
de trabajo cercanas al mar, o en otras aplicaciones donde exista
alta probabilidad
de que se acentúe el fenómeno de la corrosión, debe preveerse una
reducción del límite de resistencia a la fatiga
incluso superior al 50%.

Software Fatiga 1.0.
Sistema para la
comprobación a la fatiga de árboles
y ejes

Fatiga.exe Versión 1.0: es un programa para el
cálculo
del coeficiente de seguridad a la fatiga en árboles
escalonados y con chaveteros y la evaluación
de los conocimientos que poseen los estudiantes del tema Fatiga.
Aunque fue diseñado con el propósito fundamental de
ser utilizado con fines docentes puede
utilizarse en el diseño
y comprobación de los árboles.

El programa permite escoger entre diferentes regímenes
de carga y diferentes ciclos de carga. También es posible
considerar diferentes estados de la superficie del elemento
analizado.

Con Fatiga.exe 1.0 es posible obtener el
coeficiente de seguridad a la fatiga en árboles sometidos
a la acción
de cargas cíclicas considerando que los concentradores son
escalones o chaveteros. Al finalizar la aplicación el
programa valora el nivel de conocimientos que tiene el usuario
sobre el tema tratado.

Cálculo del
coeficiente de seguridad a la fatiga

Es necesario determinar el coeficiente de seguridad a la
fatiga y el coeficiente de seguridad a las deformaciones
plásticas. Posteriormente ambos deben ser comparados con
el coeficiente de seguridad recomendado.

Este coeficiente se calcula en función de
determinados parámetros que influyen en la resistencia a
la fatiga de un elemento.

Coeficiente de seguridad a la fatiga para tensiones
normales.

………………………………………………………………………………………………………(1)

Coeficiente de seguridad a la fatiga para tensiones
tangenciales.

…………………………………………………………………………………………………………(2)

Coeficiente de seguridad a la fatiga para casos combinados de
tensiones.

………………………………………………………………………………………………………………(3)

En las expresiones anteriores:

s -1; t -1: es el límite de
resistencia a la fatiga que se obtiene de forma experimental.

s a; t a: es la tensión amplitud del
ciclo.

s m; t m: es la tensión media del
ciclo.

El resto de los coeficientes que aparecen en las expresiones
se denominarán durante el desarrollo del
trabajo.

Si el coeficiente de seguridad a la fatiga calculado
(ncal) es mayor que cierto valor recomendado
(nrec) entonces esta garantizada la resistencia a la
fatiga. O sea:

Si: ncal ≥ nrec; resiste a la
fatiga.

Si: ncal < nrec; no resiste a la
fatiga.

Nota: En el caso que se cumpla la primera
condición pero la diferencia entre los coeficientes
calculado y recomendado sea mayor del 15% debe hacerse un
reanálisis del cálculo para valorar el factor
económico, pues se estaría sobredimensionando la
pieza; es decir, debe cumplirse la relación:

……………………………………………………………………………………………………………….(4)

El coeficiente de seguridad recomendado puede determinarse
como la multiplicación de tres coeficientes parciales de
seguridad:

nrec =
n1*n2*n3
………………………………………………………………………………………………………………………………………(5)

Donde:

• n1: es el coeficiente que considera el
  error posible al determinar las cargas y las tensiones. Cuando
  las tensiones se calculan con gran precisión, este
  coeficiente se puede señalar igual a 1,2
  ÷ 1,5. En el caso de menor exactitud, igual a 2
  ÷ 3.
• n2: es el coeficiente que tiene en cuenta
  la heterogeneidad del material, su sensibilidad a los posibles
  defectos en el maquinado de la pieza. En los cálculos
  por fatiga se considera igual a 1,5 ÷ 2. Este
  coeficiente se aumenta para materiales de poca homogeneidad
  (sobre todo en el caso de fundición) y en el de piezas
  de gran tamaño hasta 3 y más.
• n3: es el coeficiente de las condiciones
  de trabajo que tiene en cuenta el grado de responsabilidad de la pieza. Su valor se admite
  entre 1 y 1,5.

Cálculo de los coeficientes
necesarios para realizar la comprobación a la fatiga
mediante el software Fatiga
1.0.

Influencia de la concentración de tensiones.

La variación súbita de la forma de la pieza
influye sobre el límite de resistencia a la fatiga. Esta
influencia viene dada por el coeficiente efectivo de
concentración de las tensiones.

Coeficiente de
concentración de tensiones (ks
; kt ) para cambio de
sección.

Se determina en función de s
r y de r/d:

si D/d = 2

D: diámetro mayor en el cambio de sección. d:
diámetro menor en el cambio de sección.

r: radio de acuerdo
en el cambio de sección.

En el caso de la flexión es el coeficiente ks . La siguiente gráfica muestra el
comportamiento
de este coeficiente.

Figura 5. Coeficiente efectivo de la
concentración de tensiones en la flexión de
árboles escalonados.

La curva inferior corresponde a los aceros de límite de
resistencia 500 MPa, mientras la segunda corresponde a los aceros
de límite de resistencia 1200 MPa.

La gráfica anterior se obtuvo de la siguiente
tabla:

Tabla 1. Coeficiente efectivo de la
concentración de tensiones en la flexión de
árboles escalonados.

En el caso que el valor del coeficiente que se desea
determinar se encuentre en un valor intermedio, debe interpolarse
mediante la siguiente expresión:

…………………………………………………………………………………………..(6)

Donde:

Cx: Valor del coeficiente buscado.

C1 y C2: Límites
menor y mayor respectivamente de los coeficientes en el intervalo
que se busca.

Px: Valor del parámetro de entrada
para el coeficiente que se busca.

P1 y P2: Límites menor y
mayor respectivamente de los parámetros de entrada en el
intervalo que se busca.

Ejemplo: En la tabla anterior se desea obtener el valor
de kpara una relación de r/d =
0.24 con una. r=500 MPa.

Luego:

Px = 0.24

Este valor se encuentra entre P1= 0.23 y
P2=0.25 y los coeficientes tomarán el valor de
C1 = 1.304 y C2= 1.26, sustituyendo en la
ecuación anterior se obtiene que para una relación
de r/d = 0.24, entonces kvale
1.282.

De forma análoga se procede con el resto de los
coeficientes que se exponen aquí.

Las siguientes ecuaciones
también permiten la determinación de los
coeficientes ks .

Para s r =500
MPa:

ks
=24490(r/d)6-33737(r/d)5+18323(r/d)4-4995,7(r/d)3+727,65(r/d)2-57,165(r/d)
+3,5277 ……………………………(7)

Para s r =1200
MPa:

ks =28738(r/d)6
-40428(r/d)5 +22581(r/d)4
-6388,8(r/d)3 +973,01(r/d)2 -79,173(r/d)
+4,3899 ……………………….(8)

En el caso de la torsión
es el coeficiente k. La siguiente
gráfica muestra el comportamiento de este
coeficiente.

Figura 6. Coeficiente efectivo de
la concentración de tensiones en la torsión de
árboles escalonados.

La curva inferior corresponde a los aceros de
límite de resistencia 500 MPa, mientras la segunda
corresponde a los aceros de límite de resistencia 1200
MPa.

La gráfica anterior se obtuvo de la tabla
2:

Tabla 2. Coeficiente efectivo de la
concentración de tensiones en la torsión de
árboles escalonados.

El coeficiente kt se obtiene
de las siguientes ecuaciones en función de r/d:

Para s r =500
MPa

kt
=-12605(r/d)6+12811(r/d)5
-4546,5(r/d)4 +551,46(r/d)3
+36,305(r/d)2 -14,179(r/d) +2,0423
…………………..(9)

Para s r =1200
MPa

kt =
5686,4(r/d)6-8906,1(r/d)5+5478,6(r/d)4
-1716,5(r/d)3 +297,71(r/d)2 -28,804(r/d)
+2,5119 …………………..(10)

Ya se planteó antes que estas ecuaciones pueden
utilizarse cuando el diámetro mayor en el cambio de
sección es el doble del diámetro menor. Si la
relación D/d es distinta de 2 es necesario
determinar el coeficiente de corrección
(Figura 5). en función de
la relación D/d y del tipo de solicitación. (Curva
1 para la flexión, curva 2 para la
torsión).

………………………………………………………………………………………………….(11)

donde:

(ks )0 ó
(kt )0: es el coeficiente
efectivo determinado mediante los gráficos de las figuras 3 ó 4;
tablas 1 ó 2; o a través de las ecuaciones (7),
(8), (9), (10).

Para la torsión se procede de igual manera pero
se determina entonces el k.

Figura 7. Coeficiente de
corrección.

En la siguiente tabla se muestra el comportamiento del
coeficiente de corrección:

Tabla 3. Coeficiente de
corrección.

Las ecuaciones que permiten determinar el coeficiente
son:

Para la flexión:

e
=-1535,6(D/d)6+12117(D/d)5-39678(D/d)4+69015(D/d)3-67255(D/d)2+34819(D/d)-
7482,3 …………………(12)

Para la torsión:

e =
-670,5(D/d)6+5424,5(D/d)5-18244(D/d)4+32651(D/d)3-32799(D/d)2
+ 17538(D/d)-3900,1 …………………(13)

En el caso de árboles escalonados sometidos a
tracción – compresión también se expresa la
influencia de la concentración de tensiones mediante el
coeficiente k. La gráfica que muestra
el comportamiento de este se muestra en la figura 6 como
función de la relación r/d y el límite de
resistencia del material.

Figura 8. Coeficiente efectivo de
la concentración de tensiones en la tracción –
compresión de árboles
escalonados

Tabla 4. Coeficiente efectivo de la
concentración de tensiones en la tracción –
compresión de árboles
escalonados.

Mediante las ecuaciones (8), (9) y (10) es posible
obtener también los valores de
este coeficiente.

Para s r =400
MPa.

ks =
53,788(r/d)6-127,27(r/d)5+117,79(r/d)4-52,942(r/d)3+12,09(r/d)2-2,076(r/d)+1,5279
…………………………(14)

R2 = 0,9988

Para s r =800
MPa.

ks
=76,192(r/d)6-158,67(r/d)5+123,56(r/d)4-43,312(r/d)3+6,7267(r/d)2-1,5285(r/d)+1,8251
………………….(15)

R2 = 0,9987

Para s r =1200
MPa.

ks
=191,8(r/d)6-478,37(r/d)5+471,26(r/d)4-231,67(r/d)3+60,27(r/d)2-9,519(r/d)
+ 2,5651 ……………………..(16)

R2 = 0,9998

Para los árboles donde los concentradores de
tensión sean chaveteros los coeficientes
k y k se
determinan de las tablas 5 y 6 respectivamente.

Tabla 5. Coeficiente efectivo de la
concentración de tensiones normales en árboles con
chaveteros

Tabla 6. Coeficiente efectivo de la
concentración de tensiones tangenciales en árboles
con chaveteros.

Influencia de las dimensiones absolutas de las
piezas.

Los ensayos demuestran que cuanto mayores sean las
dimensiones absolutas de las piezas, tanto menor será el
límite de resistencia a la fatiga de las mismas. La
influencia de este factor se expresa a través del
coeficiente de influencia de las dimensiones absolutas de
la sección (factor de escala).
El mismo se determina del gráfico de la figura 7 en
función del límite de resistencia de la pieza y las
dimensiones de la misma:

Figura 9. Factor de
escala.

La curva superior corresponde a los aceros de
límite de resistencia 400 – 500 MPa y la inferior a los
aceros de límite de resistencia 1200 – 1400 MPa. Para
valores intermedios del límite de resistencia se debe
interpolar entre las dos curvas. Por falta de datos
experimentales se toma
=
= .

El gráfico anterior se obtuvo de la tabla que se
muestra a continuación:

Tabla 7. Factor de
escala.

Las ecuaciones siguientes permiten determinar el valor
de este coeficiente.

Para s r = 400 –
500 MPa

e =
-4×10-15*d6+4×10-12*d5-2×10-09*d4+2×10-07*d3+10-05*d2-0,0055*d+1,0333
…………………………………………..(17)

Para s r =1200 –
1400 MPa.

e =
2×10-14*d6-2×10-11*d5+9×10-09*d4-2×10-06*d3+0,0002*d2-0,0157*d+1,0829
………………………………………….(18)

Influencia de la calidad de la
superficie y del acabado superficial: .

Se ha demostrado por los ensayos realizados que el mal
tratamiento de la superficie de la pieza reduce el límite
de resistencia a la fatiga.

La influencia de este factor esta expresada por el
coeficiente . El siguiente nomograma expresa esta
dependencia en función del límite de resistencia y
del acabado superficial.

Figura 10. Influencia de la calidad
de la superficie y del acabado superficial.

En la siguiente tabla también se obtienen los
valores del coeficiente de influencia de la calidad de la
superficie.

Tabla 8. Influencia de la calidad
de la superficie y del acabado superficial.

Las ecuaciones que permiten obtener el valor del
coeficiente de influencia de la calidad de la superficie
son:

Para el pulido

b = 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..(19)

Para el esmerilado

b =
-8×10-12*s
r6+4×10-9s
r5-9×10-07*s r4+0,0001*s r3-0,0069*s r2+0,2219*s r -1,8596
…………………………………(20)

Para el torneado fino:

b =
10-11*s
r6-6×10-9*s
r5+10-06*s r4-0,0001*s r3+0,0076*s r2-0,2289*s r+3,7114
………………………………………(21)

Para el torneado de desbaste:

b =
-5×10-12*s
r6+3×10-9*s
r5-5×10-07*s
r4+5×10-5*s r3-0,0028*s r2+0,0664*s r+0,4196
…………………………………(22)

En presencia de escoria:

b =
-2×10-12*s
r6+9×10-10*s
r5-2×10-7*s
r4+10-5*s r3-0,0001*s r2-0,0238*s r+1,567
…………………………………….(23)

Coeficiente de sensibilidad del material a la
asimetría del ciclo (j
,j
).

Se determina como función de
rt de la tabla 9.

Tabla 9. Coeficiente de
sensibilidad del material a la asimetría del ciclo (Tabla
12.1 página 329.)

Determinación del coeficiente de seguridad a
las deformaciones plásticas.

También debe garantizarse la resistencia del
material a las deformaciones plásticas. Para ello se
determina el coeficiente de seguridad a estas deformaciones. O
sea:

– Para tensiones normales.

………………………………………………………………………………………………………………(24)

– Para tensiones tangenciales.

………………………………………………………………………………………………………………(25)

– En el caso que existan tensiones
combinadas.

………………………………………………………………………………………………………….(26)

De los coeficientes de seguridad determinados, se escoge
el menor de ellos y se compara con el coeficiente de seguridad
recomendado.

Conclusiones

En base a los resultados y a las observaciones
realizadas se puede concluir que:

• El software Fatiga .exe 1.0 permite realizar la
  comprobación a fatiga en árboles y ejes cuyo
  concentrador sean escalones o chaveteros.
• Al realizar el ensayo de
  probetas sometidas a cargas cíclicas es posible
  construir las gráficas s – N
  y s media – s a. La información que brindan estas
  gráficas es posible considerarlas propiedades
  mecánicas de los materiales, porque pueden ser
  utilizadas para realizar el diseño y comprobación
  de elementos de máquinas
  y estructurales.
• Se muestran dichas gráficas para un acero para
  estructuras
  CT4.
• Algunos de los coeficientes que influyen sobre el
  límite de resistencia a la fatiga se pueden determinar
  de forma gráfica y analítica.

Bibliografía

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    de Holguín./ Pavel Almaguer Zaldivar. Trabajo de
    Diploma. Universidad de Holguín, 2002. -82
    p.

Autor:

Ing. Pavel Almaguer Zaldivar (*)

Ing. Hortensia Santiago Cuenca
(*)

Ing. Lidia Pérez Vallejo
(**)

(*) Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de
Ingeniería, Universidad de Holguín.

(**)Departamento de Ingeniería
Industrial, Facultad de Ingeniería Industrial,
Universidad de Holguín.